[이코테] 1이 될 때까지

문제

어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다. 단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어떨어질 때만 선택할 수 있다.

1. N에서 1을 뺀다.
2. N을 K로 나눈다.

예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정하자. 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면 N은 1이 된다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 된다. 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수이다.

N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력 조건

첫째 줄에 $N$(2 $\leq N \leq$ 100,000)과 $K$(2$\leq K \leq 100,000$)가 공백으로 구분되며 각각 자연수로 주어진다. 이때 입력으로 주어지는 $N$은 항상 $K$보다 크거나 같다.

출력 조건

첫째 줄에 $N$이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

입출력 예

Example 1:

Input:
25 5
Output:
2

풀이과정

내 풀이

n, k = map(int, input().split())

cnt = 0

while(1):
    if n < k:
        break

    if n%k == 0:
        n /= k
        cnt += 1
    else:
        cnt += int(n%k)
        n -= int(n%k)
    print(cnt, n, k)
while(n != 1):
    n -= 1
    cnt += 1
print(cnt, n, k)

책 풀이

이 문제 또한 문제 해결을 위한 아이디어를 떠올릴 수 있다면 어렵지 않게 해결할 수 있다. 주어진 N에 대하여 ‘최대한 많이 나누기’를 수행하면 된다. 왜냐하면 어떠한 수가 있을 때, ‘2 이상의 수로 나누는 것’이 ‘1을 빼는 것’보다 숫자를 훨씬 많이 줄일 수 있기 때문이다. 문제에서는 K가 2 이상의 자연수이므로, 가능하면 나누는 것이 항상 더 숫자를 빠르게 줄이는 방법이 된다.

예를 들어 N이 9일 때 K가 3이라면 2번만 나누어도 순식간에 N = 9에서 N = 1이 된다. 그러므로 매우 빠르게 1을 만들 수 있다. 반면에 N = 9일 때 1을 빼는 방식만을 이용하면 8번을 빼야지만 N = 1을 만들 수 있다. 그러므로 K로 가능한 한 많이 나눴을 때 가장 빠르게 N = 1을 만들 수 있다.

따라서 다음의 과정을 반복할 수 없을 때까지 반복하면 정답을 구할 수 있다.

1. N이 K의 배수가 될 때까지 1씩 빼기
2. N이 K로 나누기

예를 들어 N = 25, K = 3일 때는 다음과 같다.

단계		N의 값
0단계		N = 25
1단계	N에서 1 빼기	N = 24
2단계	N을 K로 나누기	N = 8
3단계	N에서 1 빼기	N = 7
4단계	N에서 1 빼기	N = 6
5단계	N을 K로 나누기	N = 2
6단계	N에서 1 빼기	N = 1

6번의 과정으로 N = 1을 만들 수 있다. 그렇다면 위의 방법이 빠르게 동작하면서 그와 동시에 최적의 해를 보장한다는 것은 어떻게 알 수 있을까?

N = 27, K = 3일 때를 다시 생각해보자. 처음 3으로 나누었을 때는 27에서 18이 줄어들어 N = 9가 된다. 그다음에 3으로 나누었을 때는 9에서 6이 줄어들어 N = 3이 된다. 다시 말해 N이 클수록 K로 나누었을 때 줄어드는 양이 더 많다. N이 처음엔 큰 수라고 해도 나누기를 수행하면서 크기가 빠르게 줄어든다. 다시 말해 K가 2 이상이기만 하면 K로나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N의 값을 줄일 수 있으며, N이 결국 1에 도달한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 K로 최대한 많이 나눌 수 있도록 하는 것이 최적의 해를 보장하는 것이다.

파이썬을 이용해 작성한 답안 예시는 다음과 같다.

단순하게 푸는 답안 예시

n, k = map(int, input().split())
result = 0

# N이 K 이상이라면 K로 계속 나누기
while n >= k:
    # N이 K로 나누어 떨어지지 않는다면 N에서 1씩 빼기
    while n % k != 0:
        n -= 1
        result += 1
    # K로 나누기
    n //= k
    result += 1
    
# 마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 빼기
while n > 1:
    n -= 1
    result += 1
    
print(result)

답안 예시

# N, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, k = map(int, input().split())
result = 0

while True:
    # (N == K로 나누어떨어지는 수)가 될 때까지  1씩 빼기
    target = (n // k) * k
    result += (n - target)
    n = target
    # N이 K보다 작을 때(더 이상 나눌 수 없을 때) 반복문 탈출
    if n < k:
        break
    # K로 나누기
    result += 1
    n //= k
    
# 마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 빼기
result += (n - 1)
print(result)