[Algorithm] 다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다. 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.

다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(Top Down / Bottom Up)으로 구성된다.

다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부른다.

일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미를 가질까?

• 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 ‘프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법’을 의미한다.
• 반면에 다이나믹 프로그래밍에서 ‘다이나믹’은 별다른 의미 없이 사용된 단어이다.

다이나믹 프로그래밍의 조건

다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.

1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)

   큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)

   동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

피보나치 수열

피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다. \(1, 1, 2, 3,5,8,13,21,34,55,89,\dots\) 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미한다.

피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다. \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2},\; a_1=1, a_{2} = 1\) 프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다.

피보나치 수열: 단순 재귀 소스코드 (Python)

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4))

실행 결과는 다음과 같다.

3

하지만 단순 재귀 함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게 된다. (중복되는 부분 문제)

피보나치 수열의 시간 복잡도는 다음과 같다.

• 세타 표기법: $\theta(1.619\cdots^N)$
• 빅오 표기법: $O(2^N)$

빅오 표기법을 기준으로 $f(30)$을 계산하기 위해서는 약 10억가량의 연산을 수행해야 한다.

피보나치 수열의 효율적인 해법: 다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍의 사용조건을 만족하는지 확인한다.

1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다.

피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족한다.

메모이제이션(Memoization)

메모이제이션은 한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다.

• 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
• 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.

Top-down vs Bottom-up

Top-down(메모이제이션) 방식은 하향식이라고도 하며 Bottom-up 방식은 상향식이라고도 한다.

다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 Bottom-up 방식이다.

• 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.

엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미한다.

• 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.
• 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

피보나치 수열: 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (Python)

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonaccci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99))

실행결과는 다음과 같다.

21892299583455169026

피보나치 수열: 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (Python)

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99

# 피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]
print(d[n])

실행결과는 다음과 같다.

21892299583455169026

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다.

가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있다.

• 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 보자.

일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그래밍을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.

일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.

참고 자료

이것이 취업을 위한 코딩테스트다. (나동빈 저)

관련동영상