[Algorithm] 위상 정렬 알고리즘

위상 정렬

위상 정렬

사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.

예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

진입차수와 진출차수

진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상 정렬 알고리즘

큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.

2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다.

   1) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.

   2) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.

결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.

위상 정렬 동작 예시

위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다.

이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프 (DAG)여야 한다.

위상 정렬의 특징

위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.

• DAG (Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프

위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.

• 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.

모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.

• 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.

스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

위상 정렬 알고리즘 코드

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')
topology_sort()

실행 결과는 다음과 같다.

Input:
7 8
1 2
1 5
2 3
2 6
3 4
4 7
5 6
6 4
Output:
1 2 5 3 6 4 7

위상 정렬 알고리즘 성능 분석

위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다.

• 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 $O(V + E)$이다.

참고 자료

이것이 취업을 위한 코딩테스트다. (나동빈 저)

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